Question

2．已知P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的任意一点，过P作x轴的垂线，分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，过P作y轴的垂线，分别交双曲线的两条渐近线于C，D两点．求证：|PA|•|PB|+|PC|•|PD|为定值．

Answer 1

分析 设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即为b²m²-a²n²=a²b²，求出双曲线的渐近线方程，令x=m，y=n，分别求得A，B，C，D的坐标，运用两点的距离公式化简整理，即可得证．

解答 证明：设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为b²m²-a²n²=a²b²，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由x=m，可得y=±$\frac{bm}{a}$，
即有A（m，$\frac{bm}{a}$），B（m，-$\frac{bm}{a}$），
由y=n，可得x=±$\frac{an}{b}$，
即有C（$\frac{an}{b}$，n），D（-$\frac{an}{b}$，n），
可得|PA|•|PB|+|PC|•|PD|=|n-$\frac{bm}{a}$|•|n+$\frac{bm}{a}$|+|m-$\frac{an}{b}$|•|m+$\frac{an}{b}$|
=|n²-$\frac{{b}^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}$|+|m²-$\frac{{a}^{2}{n}^{2}}{{b}^{2}}$|=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}$=a²+b²．即为定值．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．