Question

12．如图，⊙O的半径为 4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．
（Ⅰ） 求BD长； 
（Ⅱ）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OC=OD，可得∠OCA=∠ODB．进而单调△OBD∽△AOC．利用相似三角形的性质即可得出．
（Ⅱ）由OC=OE，CE⊥OD．可得∠COD=∠BOD=∠A．进而得出．

解答 （Ⅰ）解：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}$，
∵OC=OD=4，AC=2，∴$\frac{BD}{4}=\frac{4}{2}$，∴BD=8． 
（Ⅱ）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO．

点评 本题考查了圆的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．