Question

2．如图甲，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，$AD=2\sqrt{2}，AB=3$，将矩形ABCD沿EF折起，如图乙，使平面CDEF⊥平面ABFE，点M是AD的中点，点N在AB上运动．
（1）证明：EM⊥CN；
（2）若三棱锥C-BFN的顶点都在体积为$\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$的球面上，求三棱锥C-BFN的体积．

Answer 1

分析 （I）由EF⊥平面ADE得出EF⊥平面ADE得出AB⊥平面ADE，故而AB⊥EM，结合EM⊥AD得出EM⊥平面ABCD，故结论成立；
（II）由CN为三棱锥C-BFN的外接球的直径得出BN，从而计算棱锥的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵EF是矩形ABCD的中位线，
∴EF⊥AE，EF⊥DE，
∴EF⊥平面AED．又AB∥EF，
∴AB⊥平面AED，又EM?平面AED，
∴EM⊥AB，
又在等腰△AED中，M是AD中点，
∴EM⊥AD，
∴EM⊥平面ABCD，又CN?平面ABCD，
∴EM⊥CN．
解：（Ⅱ）设三棱锥C-BFN的外接球半径为r，则$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
解得r=$\sqrt{2}$．∴CN=2r=2$\sqrt{2}$．
∴BN²+BF²+CF²=CN²=8，
∴BN=2，
V_C-BFN=$\frac{1}{3}{S}_{△BFN}$•CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，属于中档题．