Question

【题目】已知函数，其中是实数。设， 为该函数图象上的两点，且.

（1）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；

（2）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（2）当或时，∵，故不成立，∴，分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，记再利用导数即可得出．

试题解析：(1)由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，故当处的切线与处的切线垂直时， ，当时，有，所以， ，所以，所以，当且仅当，即， 时，等号成立，所以的最小值为.

（2）当或时， ，所以，当时，函数图象在点处的切线方程为，即，当时，函数图象在点处的切线方程为，即，两处切线重合的充要条件是，由及，得， ，记，则，所以在单调递减， ， 趋近于时， 趋近于，所以，所以的取值范围是.