Question

设非零向量

a

与

b

的夹角为θ，|

b

| =

2

|

a

|，如果关于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有实根，那么θ的范围是

[45°，180°]．

．

Answer 1

分析：由已知中非零向量

a

与

b

的夹角为θ，|

b

| =

2

|

a

|，关于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有实根，我们可以构造一个关于

a

与

b

的夹角θ的三角形不等式，解不等式可以确定cosθ的范围，进而得到的θ的范围．

解答：解：∵关于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有实根，
∴(2|

a

|)2-4

a

•

b

≥0
即|

a

|2-|

a

|•|

b

|cosθ=|

a

|2-

2

|

a

|²cosθ≥0
∴cosθ≤

2

2

故θ的范围是[45°，180°]．
故答案为：[45°，180°]．

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，一元二次方程根的个数与系数的关系，其中根据已知条件，构造关于

a

与

b

的夹角θ的三角形不等式，是解答本题的关键．