题目内容
设非零向量
，
的夹角为θ，记f（
，
）=
cosθ-
sinθ．若
，
均为单位向量，且
•
=
，则向量f（
，
）与f（
，-
）的夹角为
rad．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| ||
| 2 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
分析：设向量
，
的夹角为θ，则
，-
的夹角为π-θ，利用数量积运算即可得出[f（
，
）]•[f（
，-
）]，即可得出夹角．
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
解答：解：设向量
，
的夹角为θ，则
，-
的夹角为π-θ，
由题意可得f（
，
）=
cosθ-
sinθ
f（
，-
）=
cos(π-θ)+
sin(π-θ)=
sinθ-
cosθ，
故[f（
，
）]•[f（
，-
）]=（
cosθ-
sinθ）•（
sinθ-
cosθ）
=
2cosθsinθ-
•
cos2θ-
•
sin2θ+
2cosθsinθ
=2sinθcosθ-
．
∵
•
=
，
∴cosθ=
，sinθ=
．
∴2sinθcosθ-
=2×
×
-
=0．
∴向量f（
，
）与f（
，-
）的夹角为
．
故答案为：
．
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
由题意可得f（
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
f（
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
故[f（
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
=
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
=2sinθcosθ-
| ||
| 2 |
∵
| e1 |
| e2 |
| ||
| 2 |
∴cosθ=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴2sinθcosθ-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴向量f（
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| π |
| 2 |
故答案为：
| π |
| 2 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于中档题．
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