Question

17．已知△ABC，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosA=bcosB
（1）若a=3，b=4，求$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|$的值，
（2）若 C=60°，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 由acosA=bcosB得出△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（1）a=3，b=4时，△ABC为直角三角形，由此求出$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|$的值；
（2）由C=60°得出△ABC是等边三角形，由△ABC的面积求出a、b的值，再计算$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：△ABC中，∵acosA=bcosB，
∴a•$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=b•$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$，
∴a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
∴（a²-b²）（c²-a²-b²）=0，
∴a=b或c²=a²+b²，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（1）当a=3，b=4时，△ABC为直角三角形，
∴${（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$+${\overrightarrow{CB}}^{2}$
=b²+a²
=3²+4²
=25
∴$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|$=5；
（2）∵C=60°，∴△ABC是等边三角形；
又△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\sqrt{3}$，
∴ab=4，
∴a=b=2，
∴c=2；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=c•asin120°+a•bsin120°+b•csin120°
=2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的内角和公式以及平面向量的数量积与模长的计算问题，是综合性题目．