Question

5．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若A=135°，c=1，sinBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则b等于$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意和正弦定理表示出sinC、sinB，代入已知的式子列方程，由余弦定理再列出一个方程，两个方程联立求出b．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
把A=135°，c=1代入得，$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{sinB}=\frac{1}{sinC}$，
则sinC=$\frac{1}{\sqrt{2}a}$，sinB=$\frac{b}{\sqrt{2}a}$，
∵sinBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，∴$\frac{b}{2{a}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，①
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
∴${a}^{2}={b}^{2}+1+\sqrt{2}b$，②
由①②得，$\sqrt{2}{b}^{2}-3b+\sqrt{2}=0$
解得b=$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．