Question

10．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）试问当AM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．
（Ⅲ）求三棱锥A-BFD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据相关的线段长证得BC⊥AC，进一步利用平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，EC⊥BC
证得BC⊥平面ACEF，即可证明BC⊥AM；
（Ⅱ）以AM∥平面BDE为出发点，利用线线平行，证得结论；
（Ⅲ）利用等体积转换，即可求三棱锥A-BFD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且AB=2a，$AC=\sqrt{3}a$，
由AB²+BC²=AC²，可知AC⊥BC．
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面ACEF．
又AM?平面ACEF，所以BC⊥AM．…5分
（Ⅱ）解：当$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$ 时，$AM\parallel$ 平面BDE．
证明如下：当$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$，可得$FM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，故$EM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连结EN，由已知可得CN：NA=1：2，所以$AN=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$．所以EM=AN．
又EM∥AN，所以四边形ANEM为平行四边形．
所以AM∥NE．
又NE?平面BDE，AM?平面BDE，所以$AM\parallel$ 平面BDE．
当$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$ 时，$AM\parallel$ 平面BDE．…11分
（Ⅲ）解：由已知可得△ABD 的面积$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$，
故${V_{A-BFD}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}×AF×{S_{△ABD}}=\frac{1}{3}×a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}$．…14分

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定，菱形的性质，勾股定理，线面平行的性质定理，三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．