Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，CD=2，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若AE与BC所成角等于$\frac{π}{3}$，求AE与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点F，连结EF，BF．则通过证明四边形ABFE是平行四边形得出AE∥BF，于是AE∥平面PBC；
（2）由AE∥BF可知∠FBC=$\frac{π}{3}$，BF与平面PAC所成的角等于AE与平面PAC所成的角，过B作BG⊥AC，则可证BG⊥平面PAC，利用勾股定理依次求出BF，PB，PA，FG，则cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}$．

解答 证明：（1）取PC的中点F，连结EF，BF．
∵E，F是PD，PC的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又∵AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，又AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵BF∥AE，
∴∠FBC为异面直线BC，AE所成的角，即∠FBC=$\frac{π}{3}$．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴BF=$\frac{1}{2}$PC=FC，∴△BCF是等边三角形，∠BCF=60°，
又BC=1，∴BF=1，PB=$\sqrt{3}$，∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
过B作BG⊥AC于G，∵AB=BC，∴G为AC的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PA⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴PA⊥BG．
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BG⊥平面PAC，
∴∠BFG为BF与平面PAC所成的角，
∵BF∥AE，∴∠BFG为AE与平面PAC所成的角．
∴cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AE与平面PAC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，线面角的作法与计算，属于中档题．