Question

【题目】设函数，．

（）设，讨论函数的单调性．

（）设，求证：当时，．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（）求得，分两种讨论，即可求解函数的单调性；

（）当，由（）可知，当时，，在上单调递增，当时，，是低调递减，得在取得最大值，得到，代入得，得到，即可作出证明.

试题解析：

（）∵，且定义域为，

当时，，

∴在上单调递增，

当时，，有，

当，，当，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（）∵，由（）可知， 在上单调递增，

∵，

，

∴存在唯一，使得，且，

∵，

∴有或，

当时，，在上单调递增，

当时，，是低调递减，

∴在取得最大值，即为在区间的最大值，

∴，

∵，

∴，

代入，

∵在在单调递增，，

∴，

∴当时，有．