Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）求的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程；

（Ⅱ）证明：曲线与曲线有唯一公共点．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可

法一：等价函数零点的个数，由，求导，再次求导，判定出单调性，在上是单调递增故在上有唯一的零点 法二：等价于曲线与的公共点的个数，当时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定

解析：（Ⅰ）的反函数为，设所求切线的斜率为k．

∵，∴，于是在点（1，0）处的切线方程为（Ⅱ）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数

∵，∴存在零点…

又，令，则．

当时，，∴在上单调递减；

当时，，∴在上单调递增，

∴在处有唯一的极小值

即在上的最小值为．

∴（当且仅当时等号成立），

∴在上是单调递增的，∴在上有唯一的零点，

故曲线与曲线有唯一公共点

证法二：∵，，

∴曲线与曲线公共点的个数等于曲线与的公共点的个数

设，则，即当时，两曲线有公共点．

又（当且仅当时等号成立），∴在上单调递减，∴与有唯一的公共点，

故曲线与曲线有唯一公共点