Question

已知直线：为参数), 曲线 （为参数）.
（1）设与相交于两点,求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题考查直角坐标系与极坐标系之间的互化、参数方程的几何意义、三角函数的值域、函数图像的平移等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，由参数方程和普通方程的互化公式消参得出和的普通方程，由于两图像相交，所以联立求交点，再利用两点间距离公式求；第二问，根据已知先得到曲线的参数方程，写出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求距离，再利用三角函数的有界性求函数的最值.
试题解析：（1）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则.
（2）的参数方程为为参数).故点的坐标是,
从而点到直线的距离是,
由此当时,取得最小值,且最小值为.