题目内容
2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1）若过F1的直线与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的周长为8，求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：x=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点M、N，以MN为直径的圆与椭圆C的交点为P（不同于M、N），求△MNP的面积S（t）的最大值和此时t的值．
分析 （1）由过F1的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF2的周长为8，可得4a=8，又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2=b2+c2，联立解出即可．
（2）0＜t＜2．把x=t代入椭圆方程可得y2=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，可得M$（t，\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，$N（t，-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$．以MN为直径的圆的标准方程为：（x-t）2+y2=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．与椭圆方程联立可得：3x2-8tx+5t2=0，解得xP=$\frac{5t}{3}$≤2，$0＜t≤\frac{6}{5}$．因此△MNP的面积S（t）=$\frac{1}{2}|MN|•{x}_{P}$=$\frac{1}{3}\sqrt{-（{t}^{2}-2）^{2}+4}$，利用二次函数的单调性即可得出．
解答 解：（1）∵过F1的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF2的周长为8，
∴4a=8，解得a=2．
∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2=b2+c2，
解得c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）0＜t＜2．
把x=t代入椭圆方程可得y2=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，∴y=±$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$．M$（t，\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，$N（t，-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$．
∴以MN为直径的圆的标准方程为：（x-t）2+y2=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-t）^{2}+{y}^{2}=1-\frac{{t}^{2}}{4}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为3x2-8tx+5t2=0，
解得x=t，或x=$\frac{5t}{3}$．
∴xP=$\frac{5t}{3}$．
∴$\frac{5t}{3}$≤2，解得$0＜t≤\frac{6}{5}$．
∴△MNP的面积S（t）=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}×（\frac{5t}{3}-t）$=$\frac{1}{3}\sqrt{4-{t}^{2}}•t$=$\frac{1}{3}\sqrt{-（{t}^{2}-2）^{2}+4}$，
∵h（t）=-（t2-2）2+4在$0＜t≤\frac{6}{5}$内单调递增，
∴当t=$\frac{6}{5}$时，h（t）取得最大值，此时S（t）也取得最大值$\frac{16}{25}$．
点评 本题考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，判断下列结论是否正确：
在如图所示的多面体中，底面BCFE是梯形，EF∥BC，EF⊥EB，平面ABE与平面BCFE所成的角为直二面角，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，G为BC中点．