Question

19．已知{a_n}是等比数列，则在下列数列：①{$\frac{1}{{a}_{n}}$}； ②{c-a_n}，c为常数；③{a_n²}；④{a_2n}；⑤{a_n+a_n-1}；⑥{lga_n}中．成等比数列的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设出等比数列{a_n}的首项和公比，然后由等比数列的定义说明①③④为等比数列，举反例说明②⑤⑥不是等比数列．

解答 解：若数列{a_n}是等比数列，设首项为a₁，公比为q，则a_n=a₁q^n-1，
则①，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是一个以$\frac{1}{{a}_{1}}$为首项，以$\frac{1}{q}$为公比的等比数列；
②，当c≠0时，$\frac{c-{a}_{n+1}}{c-{a}_{n}}=\frac{c-{a}_{1}{q}^{n}}{c-{a}_{1}{q}^{n-1}}$不是常数，∴{c-a_n}不是等比数列；
③，${{a}_{n}}^{2}$=a₁²q^2（n-1），这是一个以a₁²为首项，以q²为公比的等比数列；
④，a_2n=a₁q^2n-1=a₁q•q^2（n-1）=a₂q^2（n-1），这是一个以a₂为首项，以q²为公比的等比数列；
⑤，当q=-1时，数列{a_n+a_n-1}不是等比数列；
⑥，数列{a_n}存在负项，此时lga_n无意义，故{lga_n}不是等比数列．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是等比数列，熟练掌握等比数列的定义是解答的关键，是基础题．