Question

17．已知不等式a（2^x-2^-x）+$\frac{{2}^{2x}+{2}^{-2x}}{2}$≥0在x∈[1，2]时恒成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法简化不等式，令t=2^x-2^-x，t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，2^2x+2^-2x=t²+2，整理可得a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，根据函数y=t+$\frac{2}{t}$的单调性求出最大值即可．

解答 解：a（2^x-2^-x）+$\frac{{2}^{2x}+{2}^{-2x}}{2}$≥0在x∈[1，2]时恒成立，
令t=2^x-2^-x，t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，
∴2^2x+2^-2x=t²+2，
∴a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，
显然当t=$\frac{3}{2}$是，右式取得最大值为-$\frac{17}{12}$，
∴a≥-$\frac{17}{12}$．
故答案为[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

点评 考查了换元法的应用和恒成立问题的转化思想应用．