Question

2．将二项式（x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{35}$
• C． $\frac{8}{35}$
• D． $\frac{7}{24}$

Answer 1

分析 写出二项展开式的通项，求出所含有理项及无理项的个数，利用插空排列得到无理项互不相邻的事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．

解答 解：由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}={2}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
可知，当r=0，2，4，6时，为有理项，
则二项式（x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中有4项有理项，3项为无理项．
基本事件总数为${A}_{7}^{7}$．
无理项互不相邻有${A}_{4}^{4}•{A}_{5}^{3}$．
∴无理项互不相邻的概率是P=$\frac{{A}_{4}^{4}•{A}_{5}^{3}}{{A}_{7}^{7}}=\frac{2}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了排列组合及古典概型概率计算公式，是中档题．