Question

设f（x）=e^x（ax²+3），其中a为实数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）为[1，2]上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=-1时，有f（x）=e^x（-x²+3），求导确定函数的单调性，由单调性求极值；
（2）要使f（x）为[1，2]上的单调函数，则f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，从而转化为最值问题．

解答： 解：（1）当a=-1时，有f（x）=e^x（-x²+3），
f′（x）=e^x（-x²+3）-2xe^x
=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＞0得，x∈（-3，1），
故f（x）在（-3，1）上单调递增，
由f′（x）＜0得，x∈（-∞，-3），（1，+∞），
故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞），上单调递减，
∴f_极小值（x）=f（-3）=-6e^-3，f_极小值（x）=f（1）=2e．
（2）要使f（x）为[1，2]上的单调函数，
则f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或
f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，
即a≥（

-3

x2+2x

）_max=-

3

8

，
或a≤（

-3

x2+2x

）_min=-1，
故a≥-

3

8

或a≤-1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．