Question

19．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使得函数f（x）＞0成立的x取值范围是（　　）

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根据已知条件构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在利用g（x）的导函数的符号，判定其单调性，依据其图象可求解．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，且g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上成立，
即x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，x∈（0，1，）时，f（x）＜0，又因为f（x）是奇函数，所以x∈（-1，0，）时，f（x）＞0，
∴使得函数f（x）＞0成立的x取值范围：（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案选A．

点评 本题考查了利用已知构造抽象函数，解函数不等式，是必须掌握的一种解题技巧，属于中档题．