Question

设椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）或F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为

3

-

2

（1）求椭圆的方程；
（2）过点（0，

2

）且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为

3

-

2

，可得a-c=

3

-

2

，又b=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）A(

3

，0)，B（0，1）．假设存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．可得x₁+x₂=-

3

，与椭圆方程联立化为(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，由△＞0，解得k2＞

1

3

．利用x₁+x₂=-

6 2 k

1+3k2

，解出k并验证即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为

3

-

2

，∴a-c=

3

-

2

，
又b=1，a²=b²+c²，联立解出a=

3

，c=

2

，b=1．
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）A(

3

，0)，B（0，1）．
假设存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=-

3

，y₁+y₂=1．
联立

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，化为(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，
△=72k²-12（1+3k²）＞0，解得k2＞

1

3

．
∴x₁+x₂=-

6 2 k

1+3k2

，
∴-

3

=-

6 2 k

1+3k2

，化为3k2-2

6

k+1=0，
解得k=

6 ± 3

3

．
经过验证：只有k=

6 + 3

3

满足△＞0．
∴存在k=

6 + 3

3

，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、向量的关系定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．