Question

【题目】在四棱锥的底面中，∥，，平面，是的中点，且

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段内是否存在点，使得？若存在指出点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）线段上存在中点，使得.

【解析】

（1）连接，证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理，即可证得∥平面；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；

（3）假设存在，设出点E的坐标，通过时，向量的数量积为0，建立方程，即可求解.

（1）连接，因为是的中点，,

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以∥平面；

（2）由（1）可知，四边形也是平行四边形，

又由，所以四边形是正方形，所以,

又由平面，所以以O为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

可得，

设平面的一个法向量为，则，可取，

设平面的一个法向量为，则，可取，

设二面角的平面角为，

即二面角的余弦值为.

（3）假设线段上存在点E，且满足，

设，则，所以，即，

所以,

又由，可得，

所以，解得，

即线段上存在中点，使得.