题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,
,且存在不相等的实数
,使得
,求证
且
.
【答案】(1)函数单调性见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)分别在和
两种情况下讨论导函数的正负,进而得到函数的单调性;
(2)当时,可通过放缩知
,知其不符合题意,得到
;由
和
时,
可得到
,将所证不等式化为
,令
,利用导数可求得
,进而证得结论.
(1)由题意得:定义域为
,
,
令,则
,
①当,即
时,
,
,
在
上单调递增;
②当,即
时,
令,解得:
,
,
当时,
,
当
和
时,
;当
时,
,
在
,
上单调递增,在
上单调递减;
当时,
,
在
上恒成立,
在
上单调递增;
综上所述:当时,
在
上单调递增;当
时,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由题意得:,则
;
当时,
,
在
上单调递增,与存在不相等的实数
使得
相矛盾,
.
由得:
,
,
不妨设,
令,则
,
在
上单调递增,
,即
,
,
,
,
欲证,只需证
,只需证
,
即证,
令,则只需证
,即证
,
令,
则,
在
上单调递减,
,从而
得证,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】新《水污染防治法》已由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议于2017年6月27日通过,自2018年1月1日起施行.2018年3月1日,某县某质检部门随机抽取了县域内100眼水井,检测其水质总体指标.
罗斯水质指数 | 02 | 24 | 46 | 68 | 810 |
水质状况 | 腐败污水 | 严重污染 | 污染 | 轻度污染 | 纯净 |
(1)求所抽取的100眼水井水质总体指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)①由直方图可以认为,100眼水井水质总体指标值服从正态分布
,利用该正态分布,求
落在(5.21,5.99)内的概率;
②将频率视为概率,若某乡镇抽查5眼水井的水质,记这5眼水井水质总体指标值位于(6,10)内的井数为,求
的分布列和数学期望.
附:①计算得所抽查的这100眼水井总体指标的标准差为;
②若,则
,
.