Question

设α、β为锐角，且=（sinα，-cosα），=（-cosβ，sinβ），=（，），求•和cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：由和的坐标，表示出+，由已知列出关系式，根据对应的坐标相等得出两个关系式，把两关系式两边平方并左右两边相加后，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α+β）的值，然后由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简•后，将求出的sin（α+β）的值代入即可求出•的值；由sinα-cosβ的值大于0，移项并利用诱导公式变形后，由α、β均为锐角，根据正弦函数的单调性得出α+β的范围，由sin（α+β）的值，利用同角三角函数的基本关系即可求出cos（α+β）的值．
解答：解：∵=（sinα，-cosα），=（-cosβ，sinβ），
∴=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又=（，），
∴sinα-cosβ=，cosα-sinβ=-，
∴（sinα-cosβ）²+（cosα-sinβ）²=，
整理得：sin²α+cos²β-2sinαcosβ+cos²α+sin²β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=，
即sin（α+β）=，
∴•=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（-β），且α、β均为锐角，
∴＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-=-．
点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．