Question

（2012•梅州一模）设函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2

3

，c=4，A为锐角，且f（A）是函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A、b．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简函数解析式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由x为锐角，得出这个角的范围，利用正弦函数的图象求出f（x）的最大值，以及此时x的度数，即为A的度数，确定出cosA的值，再由a，c的长，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，
当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值3，
∴A=

π

3

时，f（A）取得最大值3，又a=2

3

，c=4，
∴由余弦定理得：12=b²+16-2×4b×

1

2

，
解得：b=2．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，周期公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．