Question

设α、β为锐角，且

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），求

a

•

b

和cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：由

a

和

b

的坐标，表示出

a

+

b

，由已知

a

+

b

列出关系式，根据对应的坐标相等得出两个关系式，把两关系式两边平方并左右两边相加后，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α+β）的值，然后由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简

a

•

b

后，将求出的sin（α+β）的值代入即可求出

a

•

b

的值；由sinα-cosβ的值大于0，移项并利用诱导公式变形后，由α、β均为锐角，根据正弦函数的单调性得出α+β的范围，由sin（α+β）的值，利用同角三角函数的基本关系即可求出cos（α+β）的值．

解答：解：∵

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），
∴

a

+

b

=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），
∴sinα-cosβ=

6

6

，cosα-sinβ=-

2

2

，
∴（sinα-cosβ）²+（cosα-sinβ）²=

2

3

，
整理得：sin²α+cos²β-2sinαcosβ+cos²α+sin²β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=

2

3

，
即sin（α+β）=

2

3

，
∴

a

•

b

=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-

2

3

；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（

π

2

-β），且α、β均为锐角，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

5

3

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．