Question

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：根据已知条件，欲求出矩阵M^-1，可由已知直接写出M^-1．设椭圆上任意一点（x，y），变换后的坐标（x′，y′），根据逆变换公式，知道之间的关系，代入，即可求出新曲线方程．
解答：解：∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，
∴逆矩阵M^-1是把坐标平面上的点的横坐标缩短到倍，纵坐标缩短到倍的伸压变换
∴．（5分）
任意选取椭圆 上的一点P（x，y），它在矩阵
对应的变换下变为P'（x′，y′），则有 ，故 ．
又因为点P在椭圆 上，所以x^'2+y^'2=1．
椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．
点评：此题主要考查矩阵变化以及逆矩阵的求法问题，属于综合性的问题，计算比较简单，但在分析上有一定的难度，属于中档题．