Question

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换，则圆x²+y²=1在M的作用下的新曲线的方程是

x2

16

+

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：由M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换，M=

4 0 0 3

，任意选取圆x²+y²=1上的一点P（x₀，y₀），它在矩阵M=

4 0 0 3

对应的变换下变为P′（x₀′，y₀′），能推导出x₀=

1

4

x0′，y₀=

1

3

y0′，由此能求出在M的作用下的新曲线的方程．

解答：解：∵设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换，
∴M=

4 0 0 3

，
任意选取圆x²+y²=1上的一点P（x₀，y₀），它在矩阵M=

4 0 0 3

对应的变换下变为P'（x₀′，y₀′），则有

4 0 0 3

x0   y0

=

x0′   y0′

，
∴4x₀=x0′，3y₀=y0′，即x₀=

1

4

x0′，y₀=

1

3

y0′，
又因为点P在圆 x²+y²=1上，所以

x0′2

16

+

y0′2

9

=1，
∴在M的作用下的新曲线的方程为

x2

16

+

y2

9

=1．
故答案为：

x2

16

+

y2

9

=1．

点评：此题主要考查矩阵变化以及新曲线方程的求法问题，属于综合性的问题，计算比较简单，但在分析上有一定的难度，属于中档题．