Question

【选修4-2　矩阵与变换】
设M是把坐标平面上的点P（1，1），Q（2，-1）分别变换成点P₁（2，3），Q₁（4，-3）．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出矩阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M^-1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．

解答：解（Ⅰ）由条件得矩阵M=

2    0 0    3

，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为

1 0

及

0 1

；
（Ⅱ）M-1=

1 2   0 0     1 3

，
任意选取椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上的一点P（x，y），
它在矩阵 M^-1对应的变换下变为P'（x′，y′），
则有

1 2   0 0     1 3

 

x   y

=

x′   y′

，故 

x=2x′ y=3y′

．
又因为点P在椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上，所以x'²+y'²=1．
∴椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．

点评：此题主要考查矩阵变化以及逆矩阵的求法问题，属于综合性的问题，计算比较简单，但在分析上有一定的难度，属于中档题．