Question

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

分析：根据已知条件，欲求出矩阵M^-1，可由已知直接写出M^-1．设椭圆上任意一点（x₀，y₀），变换后的坐标（x₀′，y₀′），根据逆变换公式，知道之间的关系，代入，即可求出新曲线方程．

解答：解：∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，
∴逆矩阵M^-1是把坐标平面上的点的横坐标缩短到

1

2

倍，纵坐标缩短到

1

3

倍的伸压变换
∴M-1=

1 2 0 0 1 3

．（5分）
任意选取椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上的一点P（x₀，y₀），它在矩阵 M-1=

1 2 0 0 1 3

对应的变换下变为P'（x₀′，y₀′），则有

1 2 0 0 1 3

 

x0 y0

=

x ′ 0 y ′ 0

，故

x0=2 x ′ 0 y0=3 y ′ 0

．
又因为点P在椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上，所以x₀^'2+y₀^'2=1．
椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．

点评：此题主要考查矩阵变换以及逆矩阵的求法问题，属于综合性的问题，计算比较简单，但在分析上有一定的难度，属于中档题．