Question

设函数.
（1）当时，求函数在区间内的最大值；
（2）当时，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）先求出导数方程的根，对此根与区间的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而求出函数在区间上的最大值；（2）构造函数，
利用导数求出函数的极值点，并确定函数的单调性，得到，消去并化简得到，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性并结合，得到，从而求出的值.
（1），，
令得. 因为时，，时，，
所以在递增，在递减；
①当时，即时，在上递减，
所以时取最大值；
②当时，即时，在递增，在递减，
所以时，取最大值；
③当即时，在递增，
所以时取最大值；
（2）因为方程有唯一实数解，即有唯一实数解，
设，则，
令，，因为，，
所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以最小值为，
则，即， 
所以，即，
设，
，恒成立，故在单调递增，
至多有一解，
又，所以，即，解得.