Question

已知函数,.
（1）求的单调区间；
（2）当时，若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）当时函数在上单调递减，在上单调递增；当时函数在上单调递增，在上单调递减。（2）

试题分析：（1）先求导可得，讨论导数再其定义域内的正负，导数正得增区间，导数负得减区间。讨论导数符号问题时应注意对正负的讨论。（2）将问题转化为当时，对于任意的恒成立。令，先求导，再讨论导数的正负，从而得函数的单调性，根据单调性求函数的最值，使其最小值大于等于0即可。
解：（1）函数的定义域为.                                  1分
因为，                             2分
令，解得.                                      3分
当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增.        5分
当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减.       7分
（2）当时，对于任意的，都有成立，
即.
所以.
设.                            
因为,                      8分
令，解得.                                  9分
因为，
所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减.        10分
所以.             11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范围为.                                   13分
法二：
当时，对于任意的，都有成立，
即.
所以.
即.                                             8分
设.                            
因为,                                   
令，解得.                                      9分
所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增.        10分
所以.                      11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范围为.                                    13分