Question

已知函数.
（1）若当时，函数的最大值为，求的值；
（2）设（为函数的导函数），若函数在上是单调函数，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）求出导数方程的根，并以是否在区间内进行分类讨论，确定函数单调性，从而确定函数在区间上的最大值，从而求出实数的值；（2）解法一是分两种情况讨论，一种是函数是增函数，二是函数是减函数，从而得到或在上恒成立，最终转化为或来处理，从而求出实数的取值范围；解法二是分两种情况讨论，一种是函数是增函数，二是函数是减函数，从而得到或在上恒成立，利用，对二次函数的首项系数与的符号进行分类讨论，从而求出实数的取值范围.
（1）由，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取最大值，
①当，即时，函数在上单调递减，
，解得；
②当，即时，，
解得，与矛盾，不合舍去；
③当，即时，函数在上单调递增，
，解得，与矛盾，不合舍去；
综上得；
（2）解法一：，
，
显然，对于，不可能恒成立，
函数在上不是单调递增函数，
若函数在上是单调递减函数，则对于恒成立，
，解得，
综上得若函数在上是单调函数，则；
解法二：，
，
令，（）
方程（）的根判别式，
当，即时，在上恒有，
即当时，函数在上是单调递减；
当，即时，方程（）有两个不相等的实数根：
，，
，
当时，，当或时，，
即函数在单调递增，在或上单调递减，
函数在上不单调，
综上得若函数在上是单调函数，则.