Question

如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

 

Answer 1

解：(1)取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，

则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．∵PO⊥面ABCD，

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝．

设AB＝a，AO＝a，∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，

tan∠PMO＝＝．  ∴∠PMO＝60°．

(2)连接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．

∵OE＝PD＝＝a，  ∴tan∠AEO＝＝．