Question

若f（x）=x²-x+b且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（log₂x）的最小值及对应的x的值；
（3）令g（x）=log₂f（x），求g（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（log₂a）=(log2a)2-log₂a+b=b，求得log₂a的值，可得a的值．再根据log₂f（a）=2，求得f（a）=a²-a+b=4的值，可得b的值．
（2）根据 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，再利用二次函数的性质求得它的最小值．
  （3）由g(x)=log2f(x)=log2(x2-x+2)，由复合函数的单调性可知g（x）在[0，

1

2

]单调递减，在(

1

2

，m]单调递增，分类讨论求得g（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-x+b，∴f（log₂a）=(log2a)2-log₂a+b=b，
∴log₂a•（log₂a-1）=0，又∵a≠1，∴log₂a=1，∴a=2．
又 log₂f（a）=2，∴f（a）=4，∴a²-a+b=4，∴b=2．
（2）∵f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，
∴当log2x=

1

2

，即：x=

2

时，f（log₂x）有最小值

7

4

．    
（3）∵g(x)=log2f(x)=log2(x2-x+2)，
由复合函数的单调性可知g（x）在[0，

1

2

]单调递减，在(

1

2

，m]单调递增，
∴当g（0）≥g（m）时，即：log22≥log2(m2-m+2)，
即：m²-m+2≥2时，即：0＜m≤1时，g（x）_max=g（0）=log₂2=1．
同理：当m＞1时，g(x)max=g(m)=log2(m2-m+2)，
综上所述：当0＜m≤1时，g（x）_max=1；当m＞1时，g(x)max=log2(m2-m+2)．

点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质，复合函数的单调性，属于基础题．