题目内容
20．设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，则6f（x）＞f'（x）的解集为（ ）| A． | （0，+∞） | B． | （1，+∞） | C． | （e，+∞） | D． | $（\frac{e}{3}，+∞）$ |
分析 容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入6f（x）＞f′（x），根据指数函数的单调性便可解出原不等式．
解答 解：根据条件，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，
可得3f（0）=3=f′（0）-3；
∴f′（0）=6，
由于ex的导数为ex，且由复合函数的导数法则，
可设f（x）=menx+b，可得3menx+3b=mnenx-3，
显然3b=-3，即b=-1；又3m=mn，即n=3，
由f（0）=m-1=1，即m=2，
∴f（x）=2e3x-1，f′（x）=6e3x；
∴由6f（x）＞f′（x）得：6（2e3x-1）＞6e3x，
整理得，e3x＞1，
∴3x＞0，
∴x＞0．
∴原不等式的解集为（0，+∞）．
故选：A．
点评 本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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