Question

9．（1）双曲线与椭圆$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$有相同焦点，且焦点到渐近线的距离等于$\sqrt{5}$，求双曲线的标准方程；
（2）已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为$\sqrt{15}$，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求出渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b，由a，b，c的关系，求得a，进而得到双曲线的方程；
（2）设抛物线的方程为x²=2py（p≠0），联立直线的方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}=1$的焦点为（0，±3），
即c=3，
设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
焦点（0，c）到渐近线ax-by=0的距离d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
可得b=$\sqrt{5}$，∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2，
双曲线方程为$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$；
（2）设抛物线的方程为x²=2py（p≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得：
x²-4px-2p=0，设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-2p，
则|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（4p）^{2}+8p}$=$\sqrt{15}$，
解得p=-$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{4}$，
则抛物线的方程为x²=$\frac{1}{2}$y或x²=-$\frac{3}{2}$y．

点评 本题考查双曲线和抛物线的方程，注意运用待定系数法，考查椭圆的方程和性质，双曲线的渐近线方程以及抛物线和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．