Question

已知向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，

3

cosωx），设函数f（x）=

m

•

n

-

1

2

．若函数f（x）的零点间隔为

π

2

，则函数f（x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：f（x）=

m

•

n

-

1

2

=sin(2ωx+

π

3

)．由于函数f（x）的零点间隔为

π

2

，可得：周期T=π=

2π

2ω

，解得ω=1．进而得出函数的值域．

解答： 解：函数f（x）=

m

•

n

-

1

2

=cos2ωx+

3

sinωcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

3

)．
∵函数f（x）的零点间隔为

π

2

，
∴周期T=π=

2π

2ω

，解得ω=1．
∴f（x）=sin(2x+

π

3

)，
 则函数f（x）的值域为[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．