Question

9．不等式x²+px+2＞2x+p，当x∈（1，+∞）恒成立，则p的范围是（-2，+∞）．

Answer 1

分析 x²+px+2＞2x+p变形，分离参数p后然后利用基本不等式求最值，则答案可求．

解答 解：∵x²+px+2＞2x+p，x∈（1，+∞）恒成立
∴p（x-1）＞-x²+2x+2，
∴p＞$\frac{-{x}^{2}+2x-2}{x-1}$=-[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$]，
∵（x-1）+$\frac{1}{x-1}$≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$=2，当且仅当x=2时取等号，
∴p＞-2，
故答案为：（-2，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了利用分离变量法求参数的范围，是中档题．