Question

19．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{1≤x≤2}\\{x-1，}&{2＜x≤3}\end{array}\right.$，对任意的实数a，记g（a）=max{f（x）-ax|x∈[1，3]}，h（a）=min{f（x）-ax|x∈[1，3]}，其中maxA，minA分别表示集合A中的最大值与最小值，记v（a）=g（a）-h（a）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求v（a）的值；
（2）求函数v（a）的表达式，并求v（a）的最小值．

Answer 1

分析 先求出g（x）=f（x）-ax，再分类求出函数的最大值与最小值，可得分段函数，（1）将a=$\frac{1}{2}$代入求出v（a）的值即可，（2）根据v（a）的解析式求得v（a）的最小值．

解答 解：∵1≤x≤2时，g（x）=1-ax，函数单调递减，∴g（x）∈[1-2a，1-a]
2＜x≤3时，g（x）=（1-a）x-1，函数单调递增，∴g（x）∈（1-2a，2-3a]
若1-a＜2-3a，即a＜$\frac{1}{2}$时，g（a）=g（x）_max=2-3a；
若1-a≥2-3a，即a≥$\frac{1}{2}$时，h（a）=g（x）_max=1-a；
∴函数g（x）的最大值与最小值的差为v（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜\frac{1}{2}}\\{a，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（1）a=$\frac{1}{2}$时：v（a）=1-2×$\frac{1}{2}$=0，
（2）v（a））=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜\frac{1}{2}}\\{a，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴v（a）的最小值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．