Question

已知函数（,）.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.（Ⅲ）          

试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在处切线的斜率为即为因为，所以当时，.，又，则曲线在处切线的方程为. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. （1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数. 若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，易得，从而.
（Ⅰ）,.
当时，.
依题意，即在处切线的斜率为.
把代入中，得.
则曲线在处切线的方程为.           .4分
（Ⅱ）函数的定义域为.
.
（1）若，
当，即时，函数为增函数；
当，即和时，函数为减函数.
（2）若，
当，即和时，函数为增函数；
当，即时，函数为减函数.
综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.
时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.        .9分
（Ⅲ）当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，则.可知在时，，为增函数；
时，，为减函数.则.从而.
另解：(1)当时，，所以不恒成立.
(2)当且时，由（Ⅰ）知，函数的单调增区间为，单调减区间为.所以函数的最小值为，依题意，
解得.
综上所述，．                                     .13分