题目内容
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，且直线l经过点F（-$\sqrt{2}$，0）（ I ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．
分析 （ I ）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，将曲线C转化成直角坐标方程；则直线l的普通方程x-y=m，将F代入直线方程，即可求得m，求得直线l的普通方程；
（Ⅱ）由（ I ）可知：设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），则L=2（4cosθ+2$\sqrt{2}$sinθ）=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ），根据正弦函数的性质，即可求得L的最大值．
解答 解：（ I ）由曲线C的极坐标方程：ρ2=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ2+ρ2sin2θ=4，
将ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化简整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
直线l的普通方程为x-y=m，将F代入直线方程，则m=$\sqrt{2}$，
∴直线l的普通方程为x-y+$\sqrt{2}$=0；
（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴椭圆C的内接矩形的周长L=2（4cosθ+2$\sqrt{2}$sinθ）=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ），tanφ=$\sqrt{2}$，
∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4$\sqrt{6}$．
点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，椭圆的极坐标方程及参数方程的应用，考查辅助角公式的应用，正弦函数的最值，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{5π}{6}$ | B． | $\frac{3π}{4}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
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