Question

【题目】已知函数．

（1）时，解关于x的不等式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）化简不等式，分类讨论去掉绝对值，即可求解，得到答案．

（2）f（x）≤0恒成立时，x29a|x3|≥0恒成立，可分x=3、x＞3和x＜3时，三种情况讨论，即可求解，得到答案．

（1）由题意，当a=2时，不等式x2+2|x3|+9≥0，

当x≥3时，（x3）（x+1）≤0，解得1≤x≤3，即x=3；

当x＜3时，不等式可化为（x3）（x+5）≤0，解得5≤x≤3，即5≤x＜3；

综上所述，不等式的解集为[5，3]．

（2）由f（x）≤0恒成立时，即x29a|x3|≥0恒成立，

①当x=3时，不等式恒成立，∴a∈R；

②当x＞3时，不等式（x3）（x+3a）≥0恒成立，∴x+3a≥0恒成立，∴a≤6；

③当x＜3时，不等式（x3）（x+3+a）≥0恒成立，∴x+3+a≤0恒成立，∴a≤6；

综上所述，a的取值范围是（-∞，6]．