Question

7．如图在三棱锥S-ABC中，SC⊥面ABC，AC⊥BC，且SC=AC=BC，求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 取AB中点O，连结SO，CO，由已知得∠SOC是二面角S-AB-C的平面角，由此能求出二面角S-AB-C的余弦值．

解答 解：设SC=AC=BC=a，
取AB中点O，连结SO，CO，
∵在三棱锥S-ABC中，SC⊥面ABC，AC⊥BC，且SC=AC=BC，
∴SA=SB=AB=$\sqrt{2}a$，
∴SO⊥AB，CO⊥AB，
∴∠SOC是二面角S-AB-C的平面角，
∵CO=AO=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴SO=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴cos∠SOC=$\frac{CO}{SO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即二面角S-AB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．