Question

12．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{m}$=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，且|PF₁|=4，PF₁⊥PF₂．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆方程可得椭圆长轴长，结合|PF₁|=4及椭圆定义可得|PF₂|=2，再由勾股定理求得|F₁F₂|，则c可求，m可求；
（Ⅱ）设出P点坐标，由两点间的距离公式可得关于P点坐标的方程组，则答案可求．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：|PF₂|=6-4=2，
在△PF₁F₂中，由勾股定理得，$|{F}_{1}{F}_{2}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$，
即4c²=20，解得c²=5．
∴m=9-5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x₀，y₀），由（Ⅰ）知，${F}_{1}（-\sqrt{5}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{5}，0）$，
∵$|P{F}_{1}|=\sqrt{（{x}_{0}+\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=4$，$|P{F}_{2}|=\sqrt{（{x}_{0}-\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=2$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{0}+\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16}\\{（{x}_{0}-\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3\sqrt{5}}{5}}\\{{y}_{0}=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}，\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．