Question

8．已知椭圆E的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）和N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设F为椭圆的右焦点，过点F作斜率为1的直线l交椭圆于AB两点，以AB为直径的圆O交y轴于P、Q两点，劣弧长PQ记为d，求$\frac{d}{|AB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）通过设椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代入两点M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）和N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）计算即得结论；
（2）通过（1）可知直线l方程为x-y-1=0，并与椭圆方程联立可知A（0，-1）、B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），进而可求出P（0，-1）、Q（0，$\frac{1}{3}$），计算即得结论．

解答 解：（1）设椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知F（1，0），则直线l方程为：x-y-1=0，
联立直线与椭圆方程，消去y整理可知：3x²-4x=0，
解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$，
不妨记A（0，-1）、B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），则线段AB的中点T（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴AT=$\sqrt{（0-\frac{2}{3}）^{2}+（-1+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设Q（0，y），则QT=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\sqrt{（0-\frac{2}{3}）^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得：y=$\frac{1}{3}$或y=-1，
记P（0，-1）、Q（0，$\frac{1}{3}$），则d=$\frac{1}{4}$•2π•AT，
∴$\frac{d}{|AB|}$=$\frac{\frac{π}{2}AT}{2AT}$=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．