Question

2．已知函数f（x）=sinx-xcosx．
（I）讨论f（x）在（0，2π）上的单调性；
（II）若关于x的方程f（x）-x²+2πx-m=0在（0，2π）有两个根，求实数m的取值范围．
（III）求证：当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）设h（x）=x²-2πx+m=（x-π）²+m-π²，根据二次函数的性质求出m的范围即可；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）＜0，从而证出结论即可．

解答 解：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（Ⅰ）f'（x）＞0⇒x∈（0，π），f'（x）＜0⇒
x∈（π，2π）f（x）的递增区间（0，π），递减区间（π，2π）；
（II） f（x）=x²-2πx+m，
设h（x）=x²-2πx+m=（x-π）²+m-π²，
由$\left\{\begin{array}{l}m-{π^2}＜π\\ h（0）=m＞0\end{array}\right.$，解得，0＜m＜π²+π；
（III）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，
则g′（x）=x（sinx-x），
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，设t（x）=sinx-x，则t′（x）=cosx-1＜0，
所以t（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，t（x）=sinx-x＜t（0）=0，
即sinx＜x，所以g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，
所以f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．