Question

11．已知异面直线a，b，A∈a，B∈b，AB的中点为O，平面α满足a∥α，
b∥α，且O∈α，M．N是a，b上的任意两点，MN∩α=P，
（1）求证：P是MN的中点；
（2）若AM=8，BN=6，a，b所成的角为60⁰，求OP的长．

Answer 1

分析 （1）连接AN交平面α 于Q，连接OQ、PQ，推导出BN∥OQ，PQ∥AM，由此能证明P为MN的中点．
（2）推导出OQ=3，PQ=4，∠PQO=60°，或∠PQO=120°，由此能求出OP的长．

解答 证明：（1）连接AN交平面 α 于Q，连接OQ、PQ，
∵A∉b，∴A、b可确定平面β，
∴α∩β=OQ，由b∥α 得 BN∥OQ．
∵O为AB的中点，∴Q为AN的中点．
同理 PQ∥AM，故P为MN的中点．
解：（2）由（1）得OQ∥BN，且OQ=$\frac{1}{2}$BN=3，
PQ∥AM，且PQ=$\frac{1}{2}$AM=4，
∵a，b所成的角为60⁰，∴∠PQO=60°或∠PQO=120°，
当∠PQO=60°时，
OP=$\sqrt{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-2×OQ×PQ×cos∠PQO}$
=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$；
当∠PQO=120°时，
OP=$\sqrt{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-2×OQ×PQ×cos∠PQO}$
=$\sqrt{9+16+2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{37}$．
∴OP的长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{37}$．

点评 本题考查点为线段中点的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．