Question

8．已知函数f（x）=lnx-mx+1在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=$\frac{1}{e}$处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≤0．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，则f′（1）=1-m=0，解得m．可得f（x）=lnx-x+1，${f}^{′}（\frac{1}{e}）$，$f（\frac{1}{e}）$，利用点斜式即可得出．
（II）由（I）可得：f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值，只要证明f（x）_max≤0即可．

解答 （I）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，则f′（1）=1-m=0，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x+1，${f}^{′}（\frac{1}{e}）$=e-1，$f（\frac{1}{e}）$=-1-$\frac{1}{e}$+1=-$\frac{1}{e}$，
∴曲线y=f（x）在x=$\frac{1}{e}$处的切线方程为：y+$\frac{1}{e}$=（e-1）（x-$\frac{1}{e}$）．
（II）证明：由（I）可得：f（x）=lnx-x+1，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
可得：0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴x=1时，函数f（x）取得极大值即最大值．
∴f（x）_max=f（1）=0．
∴f（x）≤0．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．