数列{an}的前n项和为Sn.且Sn=n(n+1).n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式,(2)若数列{bn}满足:${a n}=\frac{b 1}{3+1}+\frac{b 2}{{{3^2}+1}}+-+\frac{b n}{{{3^n}+1}}$.求数列{bn}的通项公式,(3)令${c n}=\frac{{{a n}{b n}}}{4}.n∈{N^*}$.求数列{cn}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}，n∈{N^*}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

分析（1）当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}（{n≥1}）$，${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，相减即可得出．
（3）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{{3^n}+1}）=n•{3^n}+n$，利用错位相减法、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，知a₁=2满足该式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．
（2）${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}（{n≥1}）$，①
${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，②
②-①得$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$，${b_{n+1}}=2（{{3^{n+1}}+1}）$，
而b₁=8，故${b_n}=2（{{3^n}+1}）$（n∈N*）．
（3）∵${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{{3^n}+1}）=n•{3^n}+n$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），
令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，③
则$3{H_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n×{3^{n+1}}$，④
③-④得，$-2{H_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n×{3^{n+1}}$=$\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n×{3^{n+1}}$，${H_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}$，
∴数列{c_n}的前n项和${T_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}+\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．