Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），且导函数f'（x）=Aωcos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

• A． $f（x）=cos（{2x-\frac{π}{6}}）$
• B． $f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$
• C． $f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x+\frac{π}{6}}）$
• D． $f（x）=\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得 f'（x）的解析式，从而得到函数f（x）的解析式．

解答 解：根据导函数f'（x）=Aωcos（ωx+φ）的部分图象，可得Aω=1，
f′（x）的周期为4•（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2，∴A=$\frac{1}{2}$，f'（x）=cos（2x+φ）．
结合五点法作图可得2•$\frac{7π}{12}$+φ=π，φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故选：D．

点评 本题主要考查求三角函数的导数，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．